El calculo y su historia

 

 

 Calculo

Definición

La palabra cálculo proviene del término latino calculus (“piedra”) y se refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático. El concepto también se utiliza como sinónimo de conjetura.

En economía, el cálculo esencial, a diferencia de los métodos de cálculo tradicionales, está enfocado hacia afuera y de cara al futuro.

Historia del Cálculo

Pierre Fermat

(Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601^[] Castres, Francia, 12 de enero de 1665)

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newtony Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascale independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat

·        Pequeño teorema de Fermat

El pequeño teorema de Fermat, referente a la divisibilidad de números, afirma que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p, siendo p un número primo. Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.

·        Último teorema de Fermat

Pierre de Fermat acostumbraba a escribir las soluciones a los problemas en el margen de los libros. Una de las notas que escribió en su ejemplar del texto griego de La Aritmética de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621) dice lo siguiente:

“Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado, en la suma de dos potencias de la misma clase. He descubierto para el hecho una demostración excelente. Pero este margen es demasiado pequeño para que (la demostración) quepa en él.”

Isaac  Newton

(25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1727)

 

En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina "momentum" de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo excesivamente pequeño, llamando la "razón del momentum" al tiempo correspondiente es decir, la velocidad

 

·         Cálculo de la explicación de los planetas alrededor del sol

introdujo la idea de que el movimiento de los objetos en el cielo, como los planetas, el Sol, y la Luna, y el movimiento de objetos en la Tierra, como las manzanas que caen de un árbol, podría describirse por las mismas leyes de la física. En este sentido él unificó la dinámica celeste y terrestre por eso su Ley de gravitación se llama Universal.

La mecánica celeste se ocupa de calcular la órbita de un cuerpo recién descubierto y del que se tienen pocas observaciones; con tres observaciones ya se puede calcular los parámetros orbitales.

 

·         Método de las Fluxiones

 Es una obra de Sir Isaac Newton que fue terminada en 1671, aunque su publicación no fue hasta 1736. Newton expone en este libro los fundamentos de un nuevo tipo de matemáticas: «las razones primeras y últimas de cantidades» como el mismo las llamó, esto es: el cálculo infinitesimal (calculus); ideado simultáneamente por el matemático coetáneo alemán Gottfried Leibniz.

Newton introduce en sus métodos infinitesimales el concepto de fluxión, decidido a aplicar al álgebra la «doctrina de las fracciones decimales porque esta aplicación abre el camino para llegar a descubrimientos más importantes y más difíciles». También trata sobre las sucesiones infinitas en el nuevo análisis y su aplicación y los principios del cálculo diferencial e integral.

Su método permite determinar los máximos y mínimos de relaciones, las tangentes a diferentes curvas, y su radio de curvatura, puntos de inflexión y cambio de concavidad, así como el área y longitud.

Newton también explica cómo encontrar de forma aproximada las raíces de una ecuación.

 Gottfried Withem Leibniz

(Leipzig, 1 de julio de 1646 - Hannover, 14 de noviembre de 1716)

 

Sus resultados en el cálculo integral fueron publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686 bajo el nombre de "Calculus Summatorius". Introduce los elementos diferenciales dy ó dx para expresar la "diferencia entre dos valores sucesivos" de una variable continua y ó x. Al tomar la suma de tales diferenciales de la variable se obtiene la variable misma, lo cual denota por ?dx.

·         Cálculus summatorius

Después fue cambiado el nombre a Cálculo integral. El cálculo integral para encontrar el área bajo la curva de una función y=f(x). Leibniz introdujo varias notaciones usadas en la actualidad, tal como, por ejemplo, el signo “integral” ∫, que representa una S alargada, derivado del latín summa, y la letra "d" para referirse a los “diferenciales”, del latín differentia. Esta ingeniosa y sugerente notación para el cálculo es probablemente su legado matemático más perdurable. Leibniz no publicó nada acerca de su Calculus hasta 1684.^[

·         Cálculo infinitesimal

Las contribuciones de Leibniz en el campo del cálculo infinitesimal, efectuadas con independencia de los trabajos de Newton, así como en el ámbito del análisis combinatorio, fueron de enorme valor. Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral. Los trabajos que inició en su juventud, la búsqueda de un lenguaje perfecto que reformara toda la ciencia y permitiese convertir la lógica en un cálculo, acabaron por desempeñar un papel decisivo en la fundación de la moderna lógica simbólica.

 

 

 

Johan y Jacob Bernoulli

Jacob (Basilea, 27 de diciembre de 1654 - ibíd. 16 de agosto de 1705)

Johan (Basilea, 27 de julio de 1667 - ibídem, 11 de enero de 1748)

 

Jacob se familiarizó con el cálculo mediante su correspondencia con Gottfried Leibniz, y colaboró con su hermano Johann en varias aplicaciones, siendo notable la publicación de artículos en curvas trascendentales (1696) e isoperimetría (1700, 1701).

·         Curvas trascendentales y isoperimetría

 En mayo de 1960, publicado en un documento de Acta Eruditorum, demostró que el problema de determinar el isocrono es equivalente a resolver una ecuación diferencial no lineal de primer orden. El isocrono, o curva de descenso constante, es la curva junto a la que una partícula descenderá bajo el efecto de la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, sea cual sea el punto inicial. Había sido estudiado por Huygens en 1687 y por Leibniz en 1689. Tras encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que hoy llamamos separación de variables. El documento de Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, porque el término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli'

y' = p(x)y + q(x)yn

 

Leonhard Euler

(Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de 1783),

·         La simbología se debe a él, quien además de hacer importantes contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.

·         Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente.

 

Jean le Rond

(París; 16 de noviembre de 1717 - Íbidem; 29 de octubre de 1783)

En 1747 aplicó el cálculo diferencial al análisis del problema físico de la cuerda vibrante, lo cual le condujo a la resolución de una ecuación diferencial en derivadas parciales para la que encontró una solución. En las Investigaciones sobre la precesión de los equinoccios (1749) estableció las ecuaciones del movimiento de la Tierra en torno a su centro de gravedad y abordó el problema de los tres cuerpos (relaciones entre las fuerzas y los movimientos correspondientes del Sol, la Tierra y la Luna).

Josep Lagrange

(25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París)

 

 

 

·         contribuyó de forma decisiva al desarrollo de la moderna especulación científica con sus aportaciones sobre la teoría de los números y las ecuaciones que llevan su nombre, aplicadas a la resolución de problemas mecánicos.

·         Cuando tenía sólo diecinueve años envió una carta a Leonhard Euler en que resolvió un problema, que había sido un asunto de discusión durante más de medio siglo, mediante una nueva técnica: el cálculo de variaciones. Euler reconoció la generalidad del método y su superioridad, y con una cortesía rara en él retuvo un artículo que él había escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para completar su trabajo, como exige la invención de un nuevo método de cálculo.

 

Augustin Cauchy

(París, 21 de agosto de 1789 - Sceaux, 23 de mayo de 1857)

Cauchy resolvió el problema de Poinsot, generalización del teorema de Euler sobre los poliedros. Un año más tarde, publicaría una memoria sobre el cálculo de las funciones simétricas y el número de valores que una función puede adquirir cuando se permutan de todas las maneras posibles las cantidades que encierra. En 1814, apareció su memoria fundamental sobre las integrales definidas y luego abordando el teorema de Fermat sobre los números poligonales, llegó a demostrarlo, cosa que no pudieron Euler, Legendre, Lagrange, ni Gauss. Uno de los mayores triunfos lo obtuvo dando vigor a las demostraciones de Lagrange, ateniéndose al cálculo de ceros e infinitos y fijando las convergencias de las series del análisis. Algunas de sus obras relacionadas con el cálculo son el Traité de calcul diferentiel et integral (Tratado del cálculo diferencial e integral), Leçons sur la aplication du calcul infinitesimal á la géometrie (Lecciones sobre la aplicación del cálculo infinitesimal a la geometría), Sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires (Sobre las integrales definidas tomadas entre límites imaginarios), Sur la aplication du calcul des residus á la solution des problèmes des Physique matématique (Sobre la aplicación del cálculo a la resolución de problemas físico-matemáticos), y Sur un nouveau calcul des limites (Sobre un nuevo cálculo de límites). No dejó de ser productivo intelectualmente ni al final de su vida, pues días antes de su muerte leyó en el Instituto una memoria sobre el empleo de un artificio de cálculo llamado coeficiente regulador.

Karl weierstrass

(Ostenfelde, 31 de octubre de 1815~Berlín, 19 de febrero de 1897)

Las contribuciones a la Matemática de Weierstrass van desde el Cálculo Avanzado hasta  el Análisis Complejo. Su descubrimiento más sensacional en esa época fue la construcción de una función a valores reales continua, pero no diferenciable en ningún punto.

Anteriormente se sostenía que una curva continua necesariamente poseía una tangente, con excepción, quizás, en algunos puntos aislados. De esto se concluía que la correspondiente función debía tener derivada. Sin embargo, ya en 1834 Bolzano había dado un ejemplo de una función en su época, el mérito recayó en Weierstrass, aproximadamente treinta años mas tarde.

 

 

Limite definición

El primer paso necesario para conseguir descubrir el significado del término que ahora nos ocupa es apostar por establecer el origen etimológico del mismo. Así, podemos determinar que este se encuentra en el latín, y más exactamente en el vocablo limes, genitivo de limitis, que se puede traducir como “borde o frontera”.

En el ámbito de la matemática, por último, un límite es una magnitud fija a la que se acercan de manera progresiva los términos que conforman una secuencia infinita de magnitudes. De esta forma puede hablarse del límite de una función, el límite de una sucesión, etc.

  Margarita María Álvarez Hernández

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